A falta de mas detalles, parece claramente un problema de refresco de la tarjeta gráfica o del S.O.
Que versión de Illustrator es -exactamente-? Dices que no la has intentado actualizar y no lo permite? Que mensaje da?
Alguna vez, es decir previamente te ha funcionado, o ha empezado ha ocurrir de pronto ahora, o acabas de instalar el programa?
Has probado otras aplicaciones por si el probblema aparece también?
Si en lugar de mover el objeto dibujado en Illustrator, abres un documento vacio y lo que mueves es la ventana de la aplicación (no maximimizada) rápidamente, agitandola, se ve todo bien, o quedan cosas redibujadas sin borrarse?
Como es probabale que se un problema gráfico has actualizado los driver de la ATI? que versión y fecha tienen?
Saludos
P,D. Lo de Video Ram 3.7GB no lo entiendo. El sistema tiene 6GB y la tarjeta gráfica 1GB.